For a variety of social and historical reasons, sport occupies a different place in American culture than it does in Europe. In the United States sport is the essence of that competitive spirit that is the basis of a free-market culture and it portrays vividly the people's attitude to success that is central to American culture.
単語・熟語
a variety of 〜「さまざまな〜」 occupy「〜を占める」 essence「本質、精髄」 competitive「競争の、競争好きな」 basis「基礎」 free-market「自由市場（の）」 portray「〜を描く、〜を描写する」 vividly「鮮やかに、生き生きと」 attitude「態度、姿勢」
比較
sport occupies a different place in American culture than it does in Europe.
it does in Europe を詳しく書くと、sport occupies a place in Europe です。
ですから、文を直訳すると
「スポーツはアメリカ文化において、スポーツがヨーロッパで占めている位置とは異なる位置を占めている」
この文章には、形容詞や副詞の比較級は使われていませんが、different「異なる」という単語が比較の意味合いを含んでいる言葉であるため、than が使用されています。
that、関係代名詞
sport is the essence of that competitive spirit that is the basis of a free-market culture
that は、指示形容詞（指示代名詞）で後ろに関係詞節が続くことを示してくれています。「あの〜」と言っても、どんな〜かというと、関係詞節以下の〜だよ、というわけです。
続くthatが、その関係詞節を導いています。
「スポーツは、自由市場の基礎であるあの競争心の本質である」
it portrays vividly the people's attitude to success that is central to American culture.
この that は関係代名詞であり、先行詞は the people's attitude (to success) 「（成功に対する）人々の姿勢」です。
「それは、アメリカ文化の中心にある、人々の成功に対する姿勢を鮮やかに描いている」
日本語訳
さまざまな社会的・歴史的理由のために、アメリカ文化においてスポーツは、ヨーロッパとは異なる位置を占めている。合衆国においてスポーツは、自由市場の基礎を成すあの競争心の本質であり、アメリカ文化の中心にある、人々の成功に対する姿勢を鮮やかに描いているのである。
入試では、全体を和訳する問題が出ました。
英文は、実際に私立大学の入学試験で出題されたものを使用しています。私立大学入試では、英文を和訳する問題が多く出題されるわけではありませんが、きっちり英文の構造を把握して英文を読むことは、国立大学・公立大学入試と同様に大切ですね。
選ばれている英文は、受験生ではない方にも、勉強になると思います。TOEIC、TOEFL、英検などの資格試験にも役立つはずです。